Ce texte sur l’analyse des variétés riemanniennes est une introduction approfondie aux sujets abordés dans les monographies de recherche avancée sur la théorie de l’indice d’Atiyah-Singer. Le thème principal est l’étude des flux de chaleur associés aux Lapociens sur les formes différentielles. Cela fournit un traitement unifié de la théorie de Hodge et de la preuve supersymétrique du théorème de Chern-Gauss-Bonnet. En particulier, il y a un traitement minutieux du noyau de chaleur pour le laplacien sur les fonctions. Le théorème de l’indice d’Atiyah-Singer et ses applications sont développés (sans preuves complètes) via la méthode de l’équation de la chaleur. Les fonctions zêta pour les laplaciiens et la torsion analytique sont également traitées et la relation récemment découverte entre la théorie de l’indice et la torsion analytique est exposée. Le texte s’adresse aux étudiants qui ont suivi un premier cours sur les variétés différentiables et dont la géométrie riemannienne utilisée est développée dès le début. Il y a plus de 100 exercices avec des indices. Langue : Anglais