Notions de base. - Ensembles. - Opérations sur les ensembles. - Fonctions. - Opérations sur les fonctions. - Systèmes numériques. - Ensembles dénombrables et indénombrables. - Suites. - à des suites. - Limsup et Liminf. - Quelques suites spéciales. - Séries. - à des séries. - Tests de convergence élémentaires. - Tests de convergence avancés. - Quelques séries particulières. - Opérations sur les séries. - La topologie de la droite réelle. - Ensembles ouverts et fermés. - Autres points distincts. - Ensembles bornés. - Ensembles compacts. - L'ensemble de Cantor. - Ensembles connexes et déconnectés. - Ensembles parfaits. - Limites et continuité des fonctions. - Définitions et propriétés de base. - Fonctions continues. - Propriétés topologiques et continuité. - Classification des discontinuités et de la monotonie. - La dérivée. - Le concept de dérivée. - Le théorème de la valeur moyenne et ses applications. - Autres résultats sur la théorie de la différentiation. - L'intégrale. - Le concept d'intégrale. - Propriétés de l'intégrale de Riemann. - Autres résultats sur l'intégrale de Riemann. - Résultats avancés sur la théorie de l'intégration. - Suites et séries de fonctions. - Sommes partielles et convergence ponctuelle. - Plus d'informations sur la convergence uniforme. - Séries de fonctions. - Le théorème d'approximation de Weierstrass. - Quelques fonctions spéciales. - Séries entières. - Plus d'informations sur les séries entières : problèmes de convergence. - Les fonctions exponentielles et trigonométriques. - Logarithmes et puissances des nombres réels. - La fonction gamma et la formule de Stirling. - Introduction aux séries de Fourier. - Sujets avancés. - Espaces métriques. - Topologie dans un espace métrique. - Le théorème des catégories de Baire. - Le théorème d'Ascoli-Arzela. - Équations différentielles. - Théorème d'existence et d'unicité de Picard. - La méthode des caractéristiques. - Méthodes des séries entières. - Méthodes analytiques de Fourier. Glossaire de la théorie des variables réelles. Liste des notations. Guide de la littérature. Langue : anglais.